A model problem for boundary layers of thin elastic shells

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Issue		ESAIM: M2AN Volume 34, Number 1, January-February 2000


Page(s)		1 - 30
DOI		10.1051/m2an:2000128

DOI: 10.1051/m2an:2000128
M2AN, Vol. 34, N $^{\rm o}$ 1, 2000, pp. 1-30

A model problem for boundary layers of thin elastic shells

Philippe Karamian
Laboratoire de Mécanique, Université de Caen, Boulevard Maréchal Juin, 14032 Caen Cedex, France.

Jacqueline Sanchez-Hubert
Laboratoire de Mécanique, Université de Caen, Boulevard Maréchal Juin, 14032 Caen Cedex, France. Laboratoire de Modélisation en Mécanique, Université Paris VI, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France.

Évarisite Sanchez Palencia
Laboratoire de Modélisation en Mécanique, Université Paris VI, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France. (sanchez@lmm.jussieu.fr)

Received: April 30, 1999.

Abstract: We consider a model problem (with constant coefficients and simplified geometry) for the boundary layer phenomena which appear in thin shell theory as the relative thickness $\varepsilon$ of the shell tends to zero. For $\varepsilon =0$ our problem is parabolic, then it is a model of developpable surfaces. Boundary layers along and across the characteristic have very different structure. It also appears internal layers associated with propagations of singularities along the characteristics. The special structure of the limit problem often implies solutions which exhibit distributional singularities along the characteristics. The corresponding layers for small $\varepsilon$ have a very large intensity. Layers along the characteristics have a special structure involving subspaces; the corresponding Lagrange multipliers are exhibited. Numerical experiments show the advantage of adaptive meshes in these problems.

Résumé: Nous considérons un problème modèle (avec coefficients constants et géométrie simplifiée) pour l'étude des couches limites qui apparaissent en théorie des coques élastiques minces lorsque l'épaisseur relative $\varepsilon$ tend vers zéro. Pour $\varepsilon =0$ , notre problème est parabolique, c'est donc un problème modèle pour les surfaces développables. Les couches limites le long et transversalement aux caractéristiques ont des structures très différentes. Il apparaît aussi des couches internes associées à la propagation des singularités le long des caractéristiques. Dans certains cas, à cause de sa structure particulière, le problème limite a des solutions qui présentent des singularités faisant intervenir des distributions le long des caractéristiques. Pour $\varepsilon$ petit, les couches correspondantes sont de très grande intensité. Les couches le long des caractéristiques ont une structure particulière incluant des sous-espaces ; les multiplicateurs de Lagrange correspondants sont mis en évidence. Les calculs numériques montrent l'avantage de l'utilisation de maillages adaptés dans ce type de problèmes.

Keywords and phrases: Shells, boundary layers, singular perturbation.

AMS Subject Classification: 73K15, 35B25.

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