Finite element analysis of sloshing and hydroelastic vibrations under gravity

¹ Departamento de Matemática Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela, 15706 Santiago de Compostela, Spain. Partially supported by Programa de Cooperación Científica con Iberoamérica, M.E.C. and Acción Integrada Hispano-Francesa HF 1997-0194, Spain.
² Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción, Casilla 4009, Concepción, Chile. Partially supported by FONDECYT (Chile) through its grant No. 1.960.615 and Subprogram A on Numerical Analysis of FONDAP in Applied Mathematics (Chile).

Received: 7 July 1997
Revised: 11 May 1998

Abstract

This paper deals with a finite element method to solve fluid-structure interaction problems. More precisely it concerns the numerical computation of harmonic hydroelastic vibrations under gravity. It is based on a displacement formulation for both the fluid and the solid. Gravity effects are included on the free surface of the fluid as well as on the liquid-solid interface. The pressure of the fluid is used as a variable for the theoretical analysis leading to a well posed mixed linear eigenvalue problem. Lowest order triangular Raviart-Thomas elements are used for the fluid and classical piecewise linear elements for the solid. Transmission conditions at the fluid-solid interface are taken into account in a weak sense yielding a non conforming discretization. The method does not present spurious or circulation modes for nonzero frequencies. Convergence is proved and optimal error estimates are given. Finally, numerical results are shown.

Résumé

Cet article concerne une méthode d'éléments finis pour la résolution de problèmes d'intérac tion d'un fluide avec une structure. Plus précisement il s'agit de calculer les vibrations hydroélastiques harmoniques sous gravité. La méthode est basée sur une formulation en déplacements à la fois pour le solide et le fluide. Les effets de gravité sont inclus sur la surface libre du fluide et sur l'interphase entre le fluide et le solide. La pression dans le fluide est utilisée comme variable pour l'analyse théorique de la méthode ce qui conduit à un problème mixte aux valeurs propres bien posé. L'élément triangulaire de Raviart-Thomas du plus bas degré est utilisé pour discrétiser le fluide ; pour le solide on utilise des éléments finis linéaires par morceaux classiques. La condition de transmission cinématique à l'interphase est prise en compte de façon faible ce qui donne une discrétisation non conforme. La méthode ne produit pas des modes parasites rotationnels pour des fréquences non nulles. On démontre aussi la convergence et des estimations d'erreur qui sont optimales. Finalement, quelques résultats numériques sont présentés.