Some special solutions of self similar type in MHD, obtained by a separation method of variables

CEA/DAM, Centre d'Études de Bruyères-le-Châtel, B.P. 12, 91680 Bruyères-le-Châtel, France.

Received: 15 July 1998

Abstract

We use a method based on a separation of variables for solving a first order partial differential equations system, using a very simple modelling of MHD. The method consists in introducing three unknown variables Φ₁, Φ₂, Φ₃ in addition to the time variable t and then in searching a solution which is separated with respect to Φ₁ and t only. This is allowed by a very simple relation, called a “metric separation equation”, which governs the type of solutions with respect to time. The families of solutions for the system of equations thus obtained, correspond to a radial evolution of the fluid. Solving the MHD equations is then reduced to find the transverse component H_∑ of the magnetic field on the unit sphere Σ by solving a non linear partial equation on Σ. Thus, we generalize ideas of Courant-Friedrichs [7] and of Sedov [11], on dimensional analysis and self-similar solutions.

Résumé

On développe une méthode de séparation de variables pour un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre qui intervient en magnétohydrodynamique dans une modélisation simplifiée. Cette méthode consiste à faire intervenir en plus du temps, de nouvelles variables a priori inconnues Φ₁, Φ₂, Φ₃, et à chercher à imposer à la solution du système une séparation des variables vis-à-vis du temps et de Φ₁ seulement. Ceci est rendu possible à l'aide d'une équation très simple, dite équation de séparation métrique, qui gouverne le type des solutions. On dégage alors des familles de solutions asymptotiques admissibles pour le système d'équations, et qui correspondent à une évolution radiale du fluide. La résolution du système d'équations de la MHD est alors ramenée à déterminer la composante transverse H_∑ du champ magnétique sur la sphère unité Σ, par la résolution d'une équation aux dérivées partielles non linéaire sur Σ. On généralise ainsi des idées de Courant et Friedrichs [7], et de Sedov [11], reliées aux questions d'analyse dimensionnelle et d'autosimilitude.