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ESAIM: M2AN
Volume 33, Number 5, September October 1999
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Page(s) | 1071 - 1090 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/m2an:1999135 | |
Published online | 15 August 2002 |
Nouvelles propriétés des courbes et relation de dispersion en élasticité linéaire
CMI, 39 rue Joliot Curie,
13453 Marseille Cedex 13, France.
Received:
10
August
1998
Revised:
8
February
1999
In the case of an elastic strip we exhibit two properties of
dispersion curves λn,n ≥ 1, that were not pointed out
previously. We show cases where λ'n(0) = λ''n(0) = λ'''n(0) = 0 and we point out that these curves are not automatically monotoneous on
. The non monotonicity was an open question (see [2],
for example) and, for the first time, we give a rigourous answer. Recall the
characteristic property of the dispersion curves: {λn(p);n ≥ 1} is
the set of eigenvalues of Ap, counted with their multiplicity. The
operators Ap,
, are the reduced operators deduced from the elastic
operator A using a partial Fourier transform. The second goal of this article
is the introduction of a dispersion relation
D(p,λ) = 0 in a general framework, and not only for a homogeneous situation
(in this last case the relation is explicit). Recall that a dispersion
relation is
an implicit equation the solutions of which are eigenvalues of Ap. The main
property of the function D that we build is the following one: the
multiplicity of an eigenvalue λ of Ap is equal to the multiplicity it
has as a root of D(p,λ) = 0. We give also some applications.
Résumé
Dans cet article nous exhibons deux propriétés des courbes de
dispersion λn,
n ≥ 1 associées à une bande élastique,
qui n'ont pas été mises en évidence jusqu'à maintenant : nous
montrons des situations où λ'n(0) = λ''n(0) = λ'''n(0) = 0 et, de plus, nous montrons que ces courbes ne sont pas
systématiquement monotones sur . La non monotonie était
un problème ouvert (il a été posé dans un contexte différent
dans [2] auquel nous répondons pour la première fois.
Rappelons que les courbes de dispersion sont telles que, pour
tout
, {λn(p);n ≥ 1} est l'ensemble des
valeurs propres de Ap comptées avec leur ordre de multiplicité.
Les opérateurs Ap
, sont les opérateurs réduits obtenus en utilisant
la transformation de Fourier partielle. Un deuxième objectif pour
cet article est d'introduire une
relation de dispersion dans un cadre général, et
pas seulement dans le cas homogène où elle est calculée
explicitement. Rappelons qu'une relation de dispersion est une
équation implicite donnant la condition pour que λ soit une
valeurs propresde Ap. Nous montrons la principale propriété de la
fonction D que nous construisons : la multiplicité d'une valeurs propres
λ de Ap est égale à sa multiplicité comme racine de
D(p,λ) = 0 et nous présentons quelques applications.
Mathematics Subject Classification: 73D25 / 73D20 / 35P
Key words: Élasticité / relation de dispersion / valeur propre.
© EDP Sciences, SMAI, 1999
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