Computation of bifurcated branches in a free boundary problem arising in combustion theory

¹ Mathématiques Appliquées de Bordeaux, Université Bordeaux I, 33405 Talence Cedex, France. e-mail: Olivier.Baconneau@math.u-bordeaux.fr; Claude-Michel.Brauner@math.u-bordeaux.fr
² Dipartimento di Matematica, Università di Parma Via D'Azeglio 85/A, 43100 Parma, Italy. e-mail: lunardi@prmat.math.unipr.it

Received: 13 December 1999

Abstract

We consider a parabolic 2D Free Boundary Problem, with jump conditions at the interface. Its planar travelling-wave solutions are orbitally stable provided the bifurcation parameter does not exceed a critical value . The latter is the limit of a decreasing sequence of bifurcation points. The paper deals with the study of the 2D bifurcated branches from the planar branch, for small k. Our technique is based on the elimination of the unknown front, turning the problem into a fully nonlinear one, to which we can apply the Crandall-Rabinowitz bifurcation theorem for a local study. We point out that the fully nonlinear reformulation of the FBP can also serve to develop efficient numerical schemes in view of global information, such as techniques based on arc length continuation.

Résumé

On s'intéresse à un problème à frontière libre bidimensionnel, avec conditions de saut à l'interface. Le problème parabolique admet comme solutions des ondes progressives planes, qui sont orbitalement stables si le paramètre ne dépasse pas la valeur . Ce point critique est la limite d'une suite décroissante de points de bifurcation . Dans cet article, on étudie la structure des branches bifurquées 2D à partir de la branche triviale formée des ondes planes, pour k petit. Notre technique consiste à éliminer le front inconnu, pour se ramener à un problème totalement non linéaire équivalent, auquel on applique le théorème de bifurcation de Crandall-Rabinowitz pour une étude locale. La reformulation totalement non linéaire du problème s'avère également bien adaptée à la mise en œuvre de méthodes numériques pour le suivi global des branches bifurquées, en particulier par continuation.