About stability of equilibrium shapes

¹ Antenne de Bretagne de l'ENS Cachan, Institut de Recherche Mathématique de Rennes, Campus de Ker Lann, 35170 Bruz, France. (dambrine@bretagne.ens-cachan.fr)
² Antenne de Bretagne de l'ENS Cachan, Institut de Recherche Mathématique de Rennes, Campus de Ker Lann, 35170 Bruz, France. (pierre@bretagne.ens-cachan.fr)

Received: 31 August 1999
Revised: 13 March 2000

Abstract

We discuss the stability of "critical" or "equilibrium" shapes of a shape-dependent energy functional. We analyze a problem arising when looking at the positivity of the second derivative in order to prove that a critical shape is an optimal shape. Indeed, often when positivity -or coercivity- holds, it does for a weaker norm than the norm for which the functional is twice differentiable and local optimality cannot be a priori deduced. We solve this problem for a particular but significant example. We prove "weak-coercivity" of the second derivative uniformly in a "strong" neighborhood of the equilibrium shape.

Résumé

Nous nous intéressons à la stabilité des formes critiques ou d'"équilibre" d'une énergie dépendant de la forme. Dans le but de montrer qu'une forme critique est une forme optimale, nous étudions la positivité de la dérivée seconde. En effet, quand elle a lieu, la coercivité n'est vraie que dans une norme plus faible que celle pour laquelle l'énergie est différentiable: l'optimalité locale ne peut donc pas en être déduite a priori. Nous résolvons cette difficulté dans un cas particulier mais néanmoins significatif. Nous établissons de la "coercivité faible" de la dérivée seconde uniformément dans un voisinage "fort" de la forme d'équilibre.