Finite Volume Box Schemes and Mixed Methods

Département de Mathématiques, Université de Metz, 57045 Metz, France. (croisil@poncelet.univ-metz.fr)

Received: 12 November 1999
Revised: 10 May 2000

Abstract

We present the numerical analysis on the Poisson problem of two mixed Petrov-Galerkin finite volume schemes for equations in divergence form . The first scheme, which has been introduced in [CITE], is a generalization in two dimensions of Keller's box-scheme. The second scheme is the dual of the first one, and is a cell-centered scheme for u and the flux φ. For the first scheme, the two trial finite element spaces are the nonconforming space of Crouzeix-Raviart for the primal unknown u and the div-conforming space of Raviart-Thomas for the flux φ. The two test spaces are the functions constant per cell both for the conservative and for the flux equations. We prove an optimal second order error estimate for the box scheme and we emphasize the link between this scheme and the post-processing of Arnold and Brezzi of the classical mixed method.

Résumé

Nous effectuons l'analyse numérique pour le problème de Poisson de deux schémas volumes finis mixtes de type Petrov-Galerkin pour des équations sous forme divergence . Le premier schéma, qui a été introduit dans [CITE], est une généralisation à deux dimensions du schéma boîte de Keller. Le second schéma, dual du premier, est de type "cell-center" pour u et pour le flux φ. Dans le premier schéma, les deux espaces d'approximation sont l'espace non conforme de Crouzeix-Raviart pour l'inconnue primale u et l'espace de Raviart-Thomas pour le flux φ. Les deux espaces test sont les espaces des fonctions constantes par cellule, à la fois pour l'équation conservative et l'équation du flux. Nous prouvons une estimation d'erreur optimale en O(h²) pour le schéma boîte et nous mettons en évidence le lien entre ce schéma et le post-processing d'Arnold et Brezzi de la méthode mixte classique.