Some new results in multiphase geometrical optics

Program in Applied and Computational Mathematics, Fine Hall, Princeton University, Princeton, NJ 08544, USA. (orunborg@math.princeton.edu)

Received: 3 March 2000
Revised: 14 August 2000

Abstract

In order to accommodate solutions with multiple phases, corresponding to crossing rays, we formulate geometrical optics for the scalar wave equation as a kinetic transport equation set in phase space. If the maximum number of phases is finite and known a priori we can recover the exact multiphase solution from an associated system of moment equations, closed by an assumption on the form of the density function in the kinetic equation. We consider two different closure assumptions based on delta and Heaviside functions and analyze the resulting equations. They form systems of nonlinear conservation laws with source terms. In contrast to the classical eikonal equation, these equations will incorporate a "finite" superposition principle in the sense that while the maximum number of phases is not exceeded a sum of solutions is also a solution. We present numerical results for a variety of homogeneous and inhomogeneous problems.

Résumé

Afin d'exhiber des solutions possédant des phases multiples, et dans l'objectif de traiter le cas de rayons qui se croisent, nous formulons l'optique géométrique pour l'équation d'ondes scalaire comme une équation cinétique de transport posée dans l'espace des phases. Si le nombre maximum de phases est fini et connu a priori, nous reconstruisons la solution multivaluée exacte en résolvant un système associé d'équations de moments. Nous fermons ce système en faisant deux hypothèses différentes sur la forme particulière de la fonction densité dans l'équation cinétique, basée sur des fonctions de Dirac et de Heaviside. Nous analysons les équations résultantes. Elles forment des systèmes de lois de conservation non linéaires avec termes source. Contrairement à l'équation eikonale classique, ces équations permettent d'obtenir un principe de superposition "fini" , dans le sens suivant : tant que le nombre maximum de phases n'est pas excédé, une somme de solutions du système obtenu demeure une solution. Nous présentons des résultats numériques pour un certain nombre de problèmes homogènes et non homogènes.