On the derivation of a quantum Boltzmann equation from the periodic Von-Neumann equation

C.N.R.S. et I.R.M.A.R., Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France.

Received: 19 February 1998
Revised: 25 May 1998

Abstract

We present the semi-conductor Boltzmann equation, which is time-reversible, and indicate that it can be formally derived by considering the large time and small perturbing potential limit in the Von-Neumann equation (time-reversible). We then rigorously compute the corresponding asymptotics in the case of the Von-Neumann equation on the Torus. We show that the limiting equation we obtain does not coincide with the physically realistic model. The former is indeed an equation of Boltzmann type, yet with memory in time, so that it appears to be time-reversible. We comment on this point, and further describe the properties of the limiting equation.

Résumé

Nous présentons l'équation de Boltzmann des semi-conducteurs, qui est irréversible en temps, et indiquons qu'elle peut être dérivée heuristiquement par une limite en temps grand et potentiel perturbateur petit dans l'équation de Von-Neumann (réversible). Puis nous calculons rigoureusement cette asymptotique dans le cas de l'équation de Von-Neumann sur le Tore. Nous montrons que le modèle limite ainsi obtenu ne coïncide pas avec le modèle physique attendu. Il s'agit d'une équation de type Boltzmann, mais avec un effet de mémoire en temps, de sorte qu'elle apparaît réversible dans le temps. Nous commentons ce point, et proposons une description plus complète des propriétés de l'équation limite.