A “Natural” Norm for the Method of Characteristics Using Discontinuous Finite Elements : 2D and 3D case

¹ MCS, Université Lyon 1, 43 bd. du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne Cedex, France. baranger@lan.univ-lyon1.fr.
² Équipe de Modélisation, Équations aux Dérivées Partielles et Analyse Numérique, Université Hassan 2, Faculté des sciences et techniques Mohammedia, B.P 146, 20650 Morocco. machmoum@deneb.uh2m.ac.ma.

Received: 4 December 1998
Revised: 18 May 1999

Abstract

We consider the numerical approximation of a first order stationary hyperbolic equation by the method of characteristics with pseudo time step k using discontinuous finite elements on a mesh . For this method, we exhibit a “natural” norm || ||_h,k for which we show that the discrete variational problem is well posed and we obtain an error estimate. We show that when k goes to zero problem (resp. the || ||_h,k norm) has as a limit problem (P_h) (resp. the || ||_h norm) associated to the Galerkin discontinuous method. This extends to two and three space dimension our previous results obtained in one space dimension.

Résumé

On considère l'approximation numérique d'une équation hyperbolique stationnaire du premier ordre par la méthode des caractéristiques de pseudo pas de temps k et des éléments finis discontinus sur un maillage . On construit, pour cette méthode, une norme “naturelle”, notée || ||_h,k, pour laquelle on montre que le problème variationnel approché est bien posé et on obtient une majoration d'erreur. On montre que, quand k tend vers zéro, le problème (resp. la norme || ||_h,k) a pour limite le problème (P_h) (resp. la norme || ||_h), associé à la méthode de Galerkin discontinue. Ceci étend à la dimension d'espace deux et trois nos résultats antérieurs obtenus en dimension un d'espace.