Rigorous derivation of Korteweg-de Vries-type systems from a general class of nonlinear hyperbolic systems

¹ Mathématiques Appliquées de Bordeaux, Université Bordeaux 1 et CNRS UMR 5466, 351 Cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France. (benyou@math.u-bordeaux.fr)
² Mathématiques Appliquées de Bordeaux, Université Bordeaux 1 et CNRS UMR 5466, 351 Cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France. (colin@math.u-bordeaux.fr)

Received: 24 January 2000
Revised: 7 April 2000

Abstract

In this paper, we study the long wave approximation for quasilinear symmetric hyperbolic systems. Using the technics developed by Joly-Métivier-Rauch for nonlinear geometrical optics, we prove that under suitable assumptions the long wave limit is described by KdV-type systems. The error estimate if the system is coupled appears to be better. We apply formally our technics to Euler equations with free surface and Euler-Poisson systems. This leads to new systems of KdV-type.

Résumé

Dans cet article, nous étudions l'approximation de type ondes longues pour des systèmes hyperboliques quasi-linéaires symétriques. En utilisant des techniques développées par Joly-Métivier-Rauch pour l'optique géométrique non linéaire, nous montrons (sous des hypothèses convenables) que la limite onde longue est décrite par des systèmes de type KdV. L'estimation d'erreur est d'autant meilleure que l'on conserve les couplages dans ces systèmes. Nous appliquons formellement ensuite notre technique aux équations d'Euler avec surface libre et au système d'Euler-Poisson. Cela conduit à de nouveaux systèmes de type KdV.