On the distribution of free path lengths for the periodic Lorentz gas II

¹ École Normale Supérieure, D.M.A., 45 rue d'Ulm, 75230 Paris Cedex 05, France. e-mail: Francois.Golse@ens.fr
² Institut Universitaire de France and Université Paris VII, France.
³ Chalmers University of Technology, Dept. of Mathematics, 41296 Göteborg, Sweden.

Received: 29 November 1999

Abstract

Consider the domain and let the free path length be defined as In the Boltzmann-Grad scaling corresponding to , it is shown that the limiting distribution of is bounded from below by an expression of the form C/t, for some C> 0. A numerical study seems to indicate that asymptotically for large t, . This is an extension of a previous work [J. Bourgain et al., Comm. Math. Phys. 190 (1998) 491-508]. As a consequence, it is proved that the linear Boltzmann type transport equation is inappropriate to describe the Boltzmann-Grad limit of the periodic Lorentz gas, at variance with the usual case of a Poisson distribution of scatterers treated in [G. Gallavotti (1972)].

Résumé

Considérons le domaine et définissons le temps de sortie par la formule Sous l'hypothèse de la loi d'échelle de Boltzmann-Grad, qui correspond au cas où , on montre que la fonction de répartition des valeurs de est minorée asymptotiquement lorsque ε → 0 par une expression de la forme C/t, avec C> 0. Des simulations numériques semblent indiquer que, pour ε → 0 et t → +∞, . Ce travail généralise ce qui a été montré précédemment [J. Bourgain et al., Comm. Math. Phys. 190 (1998) 491-508]. On en déduit l'impossibilité de décrire la limite de Boltzmann-Grad d'un gaz de Lorentz par une équation de Boltzmann linéaire dans le cas d'une configuration périodique des obstacles, contrairement au cas d'une distribution poissonienne d'obstacles traité dans [G. Gallavotti (1972)].