Finite volume schemes for a nonlinear hyperbolic equation. Convergence towards the entropy solution and error estimate

UMPA-ENS Lyon, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon Cedex 7, France.

Received: 18 December 1996
Revised: 24 November 1997

Abstract

In this paper, we study some finite volume schemes for the nonlinear hyperbolic equation with the initial condition . Passing to the limit in these schemes, we prove the existence of an entropy solution . Proving also uniqueness, we obtain the convergence of the finite volume approximation to the entropy solution in , 1 ≤ p ≤ +∞. Furthermore, if , we show that , which leads to an “” error estimate between the approximate and the entropy solutions (where h defines the size of the mesh).

Résumé

Dans cet article, on étudie des schémas volumes finis pour l'équation hyperbolique non linéaire , avec comme condition initiale . En passant à la limite dans ces schémas numériques, on obtient l'existence d'une solution entropique , puis son unicité. On montre aussi la convergence dans , (1 ≤ p ≤ +∞) de la solution approchée donnée par le schéma vers la solution entropique. De plus, si , on prouve que , ce qui implique une estimation d'erreur de l'ordre de entre solution approchée et solution entropique (h étant le pas du maillage).