Non-Trapping sets and Huygens Principle

Dipartimento di Matematica, Università di Roma “La Sapienza”, Piazzale Aldo Moro 2, 00185 Roma, Italy.

Received: 18 February 1998
Revised: 17 July 1998

Abstract

We consider the evolution of a set according to the Huygens principle: i.e. the domain at time t>0, Λ_t, is the set of the points whose distance from Λ is lower than t. We give some general results for this evolution, with particular care given to the behavior of the perimeter of the evoluted set as a function of time. We define a class of sets (non-trapping sets) for which the perimeter is a continuous function of t, and we give an algorithm to approximate the evolution. Finally we restrict our attention to the class of sets for which the turning angle of the boundary is greater than -π (see [2]). For this class of sets we prove that the perimeter is a Lipschitz-continuous function of t. This evolution problem is relevant for the applications because it is used as a model for solid fuel combustion.

Résumé

Considérons l'évolution d'un ensemble suivant le principe de Huygens : au temps t>0, cet ensemble est transformé en Λ_t, l'ensemble des points dont la distance à Λ est inférieure à t. Nous prouvons quelques résultats généraux pour cette évolution et nous étudions en détail l'évolution du périmètre de Λ_t. Nous définissons une classe d'ensembles (dits ensembles non-piégeants) pour lesquels le périmètre est une fonction continue de t, et nous donnons un algorithme pour approcher cette solution. Enfin, nous considérons la classe des ensembles pour lesquels l'intégrale de la courbure sur tout sous-arc orienté de la frontière est supérieure à -π (voir [2]). Pour cette classe d'ensembles, nous montrons que le périmètre est une fonction lipschitzienne de t. Cette évolution du périmètre est utilisée comme modèle de combustion de propergols solides.