L^∞(L²) and L^∞(L^∞) error estimates for mixed methods for integro-differential equations of parabolic type

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Department of Mathematics, Shandong Normal University, Jinan, Shandong 250014, People's Republic of China.

Received: 14 May 1997
Revised: 5 August 1998

Abstract

Error estimates in L^∞(0,T;L²(Ω)), L^∞(0,T;L²(Ω)²), L^∞(0,T;L^∞(Ω)), L^∞(0,T; L^∞(Ω)²), Ω in , are derived for a mixed finite element method for the initial-boundary value problem for integro-differential equation based on the Raviart-Thomas space V_h x W_h ⊂ H(div;Ω) x L²(Ω). Optimal order estimates are obtained for the approximation of u,u_t in L^∞(0,T;L²(Ω)) and the associated velocity p in L^∞(0,T; L²(Ω)²), divp in L^∞(0,T;L²(Ω)). Quasi-optimal order estimates are obtained for the approximation of u in L^∞ (0,T;L^∞(Ω)) and p in L^∞(0,T;L^∞(Ω)².

Résumé

Les estimations d'erreur dans , L^∞(0,T;L²(Ω)², L^∞(0,T;L^∞(Ω)) et L^∞(0,T;L^∞(Ω)²) avec Ω sous espace de , sont obtenues par une méthode mixte d'éléments finis à partir de la valeur initiale du problème sur la frontière de l'équation intégro-differentielle: basée sur l'espace de Raviart-Thomas V_n x W_h ⊂ H(div;Ω) x L²(Ω). Les estimations d'ordre optimal sont obtenues à partir de l'approximation de u, u_t dans L^∞(0,T;L²(Ω)), la vitesse associée p dans L^∞(0,T;L²(Ω)², divp dans L^∞(0,T;L²(Ω)). Les estimations d'ordre quasi-optimal sont obtenues à partir de l'approximation de u dans L^∞(0,T;L²(Ω)) et de p dans L^∞(0,T;L^∞(Ω)²).