Approximation of solution branches for semilinear bifurcation problems

¹ Laboratoire LMC-IMAG, B.P. 53, 38041 Grenoble Cedex 9, France.
² Present address: Laboratoire LMCA, Université de La Rochelle, avenue Marillac, 17042 La Rochelle Cedex 1, France.

Received: 28 May 1997
Revised: 25 February 1998

Abstract

This note deals with the approximation, by a P₁ finite element method with numerical integration, of solution curves of a semilinear problem. Because of both mixed boundary conditions and geometrical properties of the domain, some of the solutions do not belong to H². So, classical results for convergence lead to poor estimates. We show how to improve such estimates with the use of weighted Sobolev spaces together with a mesh “a priori adapted” to the singularity. For the H¹ or L²-norms, we achieve optimal results.

Résumé

Cet article concerne l'approximation, par une méthode d'éléments finis avec intégration numérique, des branches de solutions d'un problème semi-linéaire. En raison des conditions aux limites mêlées et de la géométrie du domaine, les solutions ne sont pas dans l'espace H². Ce qui, classiquement, entraine de mauvais taux de convergence des branches de solutions approchées vers les branches de solutions exactes. Nous montrons comment l'utilisation d'un maillage “adapté a priori” à la singularité des solutions permet d'obtenir des taux de convergence optimaux dans les normes H¹ et L².